Côte d'Or 2Campagne de mesures
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Ce document analyse et commente les résultats de la campagne de mesures effectuées à bord de Côte d'Or 2 du 14 au 22 mai 1987, en préparation de la Course autour de l'Europe de la même année. |
| Méthode | Top of Page |
Le but de cette campagne était de déterminer l'efficacité des foils et l'intérêt de leur volet de courbure. Il a donc été décidé d'élaborer des polaires de vitesse lors d'essais en mer.
| Acquisition à bord | Top of Section |
Un ordinateur (EPSON PX-8) a été interfacé avec la centrale NKE du bord afin d'effectuer des saisies en temps réel. Ces saisies comprenaient :
TWS = [AWS2 + BSP2 - 2*BSP*AWS*cos(AWA)]1/2
TWA = arctg[AWS*sin(AWA) / (AWS*cos(AWA) - BSP)]
VMG = BSP*cos(TWA)
\( TWS = [AWS^2 + BSP^2 - (2 \times BSP \times AWS \times cos(AWA))]^{1 \over 2} \)
\( TWA = arctg (AWS \times {sin(AWA) \over (AWS \times cos(AWA)) - BSP}) \)
\( VMG = BSP \times cos(TWA) \)
| Lissage des données et élaboration des polaires | Top of Section |
On choisit donc un vent réel de référence (TWSref), et on dressera la polaire des vitesses du bateau pour celui-ci.
On détermine ensuite la largeur de la fourchette de vent réel. On a pris une largeur de 5 nœuds pour cette campagne.
On extrapole ensuite de manière linéaire sur l'intervalle, les points de polaires pour les amener au vent réel de référence par la formule suivante :
BSPTWSref = BSP * (TWSref / TWS)
\( BSP_{TWSref} = BSP \times {TWS_{ref} \over TWS} \)
Les points de polaire ainsi obtenus sont portés sur le graphique,et les coefficients du polynôme d'extrapolation sont calculés par la méthode des moindres carrés.
| P | TWA | = P | x |
| BSP | y |
\( P_{BSP}^{TWA} = P_y^x \)
TWA est x, BSP est y.
On cherche les coefficients a, b, c et d d'un polynôme pour lequel
ax2 + bx + c
\( ax^2 + bx + c \)
est le plus proche possible de y, c'est à dire que la somme
ax2 + bx + c - y
\( (ax^2 + bx + c) - y \)
soit la plus petite possible, donc, que pour tous les points mesurés de la polaire, le carré de cette différence soit le plus proche possible de zéro (on élève au carré pour supprimer le signe), et donc que le cumul de ces différences soit en définitive la plus petite possible. Ceci revient à calculer les coefficients a, b et c pour lesquels la derivée première de cette sommation des carrés des différences par rapport à chacun des a, b et c est nulle :
([Σ(ax2 + bx + c - y)]2)' = 0
\( ([\sum (ax^2 + bx + c - y)]^2)' = 0 \)
On développe avant de dériver :
S = a2Σx4 + 2abΣx3 + 2acΣx2 - 2aΣyx2 +
b2Σx2 + 2bcΣx - 2bΣyx +
c2Σx0 - 2cΣy + Σy2
\( S = a^2 \sum x^4 + 2ab \sum x^3 + 2ac \sum x^2 - 2a \sum yx^2 + b^2 \sum x^2 + 2bc \sum x - 2b \sum yx + c^2 \sum x^0 - 2c \sum y + \sum y^2 \)
On dérive l'expression ainsi obtenue
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∂S
--- = ∂a |
2aΣx4 + 2bΣx3 + 2cΣx2 - 2Σyx2 = 0 |
\( {{\partial S} \over {\partial a}} = 2a \sum x^4 + 2b \sum x^3 + 2c \sum x^2 + 2 \sum yx^2 = 0 \)
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∂S
--- = ∂b |
2aΣx3 + 2bΣx2 + 2cΣx1 - 2Σyx1 = 0 |
\( {{\partial S} \over {\partial b}} = 2a \sum x^3 + 2b \sum x^2 + 2c \sum x^1 + 2 \sum yx^1 = 0 \)
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∂S
--- = ∂c |
2aΣx2 + 2bΣx1 + 2cΣx0 - 2Σyx0 = 0 |
\( {{\partial S} \over {\partial c}} = 2a \sum x^2 + 2b \sum x^1 + 2c \sum x^0 + 2 \sum yx^0 = 0 \)
| | a, b, c | = | | | Σx4 | Σx3 | Σx2 | | -1 | * | | | Σyx2 | | |
| | | Σx3 | Σx2 | Σx1 | | | | | Σyx1 | | | ||
| | | Σx2 | Σx1 | Σx0 | | | | | Σyx0 | | |
\( \begin{vmatrix} a & b & c \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \sum x^4 & \sum x^3 & \sum x^2\\ \sum x^3 & \sum x^2 & \sum x^1\\ \sum x^2 & \sum x^1 & \sum x^0 \end{vmatrix}^{-1} \times \begin{vmatrix} \sum y \sum x^2\\ \sum y \sum x^1\\ \sum y \sum x^0 \end{vmatrix} \)
Remarque 1 : Les termes \(\sum x^0\) représentent le nombre de mesures dans la courbe à lisser.
Remarque 2.i : Pour résoudre un polynôme du 3e degré (comme \(ax^3 + bx^2 + cx + d\)), l'équation devient :
\( \begin{vmatrix} a & b & c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \sum x^6 & \sum x^5 & \sum x^4 & \sum x^3\\ \sum x^5 & \sum x^4 & \sum x^3 & \sum x^2\\ \sum x^4 & \sum x^3 & \sum x^2 & \sum x^1\\ \sum x^3 & \sum x^2 & \sum x^1 & \sum x^0 \end{vmatrix}^{-1} \times \begin{vmatrix} \sum y \sum x^3\\ \sum y \sum x^2\\ \sum y \sum x^1\\ \sum y \sum x^0 \end{vmatrix} \)
Remarque 2.ii : Et pour résoudre un polynôme de degré \(n\) (comme \(c_1x^n + c_2x^{n-1} + ... + c_{n+1}\)), l'équation devient :
\( \begin{vmatrix} c_1 & c_2 & \cdots & c_{n+1} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \sum x^{2 \times n} & \sum x^{(2 \times n) - 1} & \cdots & \sum x^n\\ \sum x^{(2 \times n) - 1} & \sum x^{(2 \times n) - 2} & \cdots & \sum x^{n - 1}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \sum x^n & \sum x^{n - 1} & \cdots & \sum x^0 \end{vmatrix}^{-1} \times \begin{vmatrix} \sum y \sum x^n\\ \sum y \sum x^{n - 1}\\ \vdots\\ \sum y \sum x^0 \end{vmatrix} \)
Le travail de l'ordinateur lors du lissage consiste donc à inverser la matrice carrée Σx0->2n (\( \sum x^{0->2n} \)) et à la multiplier par la matrice colonne Σyx0->n (\( \sum y \sum x^{0->n} \)) pour obtenir la matrice ligne des coefficients du polynôme recherché (n est le degré du polynôme).
Pour nos polaires, un polynôme du 4e degré convient.
Les courbes sont donc determinées pour un angle de vent réel (TWA) de 0 à 180°. Il est évident que nous n'avons pas de mesures dans l'angle mort, aussi, pour l'homogénéité du travail de l'ordinateur, il existe systématiquement dans les fichiers un point de coodonnées (0, 0), qui signifie qu'on a une vitesse nulle quand on est face au vent. Les équations de nos polaires sont donc de la forme :
y = f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
\( y = f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \)
Les deux VMG, au près et au portant, sont donc les extrema de la fonction
f(x) * cos(x)
\( f(x) \times cos(x) \)
à savoir les racines de
[f(x) * cos(x)]'
\( [f(x) \times cos(x)]' \)
et la vitesse maximum est calculée comme étant la racine de f'(x).Rien de particulier ici, il s'agit juste d'un polynôme. Ses coefficients sont les éléments de la matrice ligne obtenue ci-avant.
| Courbe(s) de Synthèse | Top of Page |
Vitesse maximum, en fonction de la force du vent réel :
| Commentaires | Top of Page |
Il est évident que le nombre de mesures que nous avons effectuées (environ 60.000) est à peine suffisant pour un travail correct.
Il est notamment difficile de cerner avec précision le degré (optimal) des polaires...
Néanmoins, cette campagne nous aura permis d'entrevoir le rôle du volet de courbure sur les foils.
Du fait de ce nombre insuffisant de données, il peut être bon de considérer également les fichiers de points qui ont permis l'élaboration des polaires.
Les points - comme dit plus haut - ont été moyennés, et les différences qui existent entre les données avec et sans volet de foil n'apparaissent
pas toujours aussi nettement dans les chiffres qu'à bord.
Il apparait cependant que les courbes "avec" et "sans" le volet de foil se croisent, et que donc la présence de ce volet soit un élément positif.
Il faut néanmoins rester prudent quant à l'interprétation de ces courbes, relativement à la façon d'utiliser ce volet de foil.
Répétons que les mesures ont été réalisées avec le volet à zéro ou à fond, et qu'il serait sans doute bénéfique de nuancer ce braquage, et que d'autre part, de nouvelles
mesures sur une campagne plus étendue nous permettrait sans doute d'en apprendre davantage, notamment dans le petit temps.
De plus, ces mesures ont été réalisées dans des conditions de mer clémentes.
Nous avons eu l'occasion de constater le rôle du foil dans une mer plus mauvaise, sans avoir pu le constater lors ce cette campagne.