Le sextant

• L'observation d'un astre se fait - dans notre contexte - à l'aide d'un sextant. Cet appareil sert à mesurer des angles. On s'en sert pour mesurer l'angle que fait un astre au dessus de l'horizon. On appelle cet angle la hauteur d'un astre.
• La précision requise est de l'ordre de la minute d'arc.
  • Une minute d'arc au centre de la Terre, projetée à sa surface, c'est la définition du mille marin.
• Pour donner une idée de ce que ça représente, une minute d'arc, c'est épais comme un cheveu à bout de bras...

Le sextant est un appareil très précis, qui utilise des miroirs, comme on le voit sur le dessin ci-contre.
Le "grand miroir" - solidaire de l'alidade - a pour effet de doubler les angles d'incidence.
Le "sextant" est nommé ainsi, car son alidade fait le sixième d'un cercle, soit soixante degrés. Le grand miroir doublant les incidences, on peut ainsi utiliser le sextant pour mesurer des angles jusqu'à 120 degrés, ce qui est inutile pour un astre..., cas dans lequel les angles ne vont pas au-delà de 90 degrés (au-delà, retournez-vous, vous avez l'astre dans le dos).
Il existe aussi des "octants", huitième partie d'un cercle - soit 45 degrés, qui peuvent mesurer des angles de 0 à 90 degrés, donc suffisants dans le cas des astres.
L'intérêt du sextant par rapport à l'octant est son utilisation possible pour le point par arcs capables. Mais c'est un autre sujet.

Les données

• Connaissance du temps
  • Il s'agit de la connaissance de l'heure exacte, à la seconde près. Il faut une bonne montre, ou un bon chronomètre.
    • En effet, la Terre tourne de 360° en une journée, ce qui fait 15° en une heure, soit 1° en 4 minutes, et donc une minute d'arc en 4 secondes de temps. Une minute d'arc, c'est un mille marin, par définition. Une erreur de 4 secondes sur la montre peut donc se traduire par une erreur d'un mille sur la carte...
  • Ce temps exact est celui qu'on utilise pour calculer la position de l'astre observé.
• La position de l'astre observé.
  • On la calcule à l'aide des almanachs nautiques ou astronomiques (qu'on appelle aussi éphémérides). Ces documents donnent pour tout instant les coordonnées de différents astres (Soleil, Lune, planètes, étoiles).
• La position estimée de l'observateur.
  • Elle est obtenue grâce à la tenue de l'estime.
    Comme on l'a dit, on est en train de corriger son estime. Elle doit être tenue de manière rigoureuse, c'est crucial.
  • L'estime est tenue grâce au livre de bord.
• La hauteur observée
  • Elle est lue sur le sextant, et on y applique plusieurs corrections :
    • Demi-diamètre
      • Dans le cas du Soleil et de la Lune
    • Réfraction
      • C'est le même phénomène que celui qu'on constate quand on met une paille dans un verre d'eau...
    • Parallaxe
      • La hauteur n'est pas prise au centre de la Terre, mais à sa surface, d'où cette différence.
    • Dépression de l'horizon
      • La Terre est ronde ! Quand l'œil est à 1.80 mètres au dessus de la surface, l'horizon est à près de deux milles (on rappelle que les miles marins et les minutes d'arc sont des unités corellées) !
  • Compte tenu de la précision requise, cette donnée - la hauteur observée - est probablement la plus délicate à obtenir, une bonne observation requiert de l'entrainement. Mesurer un angle à un cheveu près (cheveu à bout de bras, voir plus haut...), sur un pont qui bouge, avec les deux mains prises..., ça ne s'improvise pas du jour au lendemain.

Pour résumer les données

• Pour avoir la hauteur observée, il faut un sextant (et savoir s'en servir).
• Pour avoir l'heure, il faut une (bonne) montre.
• Pour avoir sa position estimée, il faut un livre de bord bien tenu, et à jour.
• Pour avoir la position de l'astre observé, il faut des éphémérides à jour (à savoir pour l'heure de l'observation).

Première définition

• Lorsqu'on parle de la position d'un astre, on parle en fait de la position du point de la Terre où l'astre est à la verticale (au zénith).
• On appelle ce point la Position Géographique Instantanée d'un astre, notée Pg.
• Les coordonnées de ce point varient d'une seconde à l'autre, et oui, la Terre tourne !

• Ce point Pg, comme tous les points de la Terre, a une latitude et une longitude.
• Sa latitude s'appelle la Déclinaison, notée D
• Sa longitude s'appelle Angle Horaire à Greenwich, noté AHG (ou aussi AHvo, pour Angle Horaire au vrai zéro)
  • On retrouvera souvent cet "Angle Horaire". Cette expression est utilisée pour les angles qu'on compte dans le sens des aiguilles d'une montre, à l'inverse de l'usage répandu en trigonométrie, où c'est le contraire, sens inverse des aiguilles d'une montre.

Note, Point Vernal

Le Soleil, la Lune, et les planètes, se déplacent dans le ciel, la Terre fait partie du même système. On les appelle des "astres errants". Les Éphémérides Nautiques donnent pour chaque instant la position de ces astres (de leur Pg).
À l'inverse, les étoiles ne se déplacent pas dans le ciel, elles conservent la même position d'un jour à l'autre.
On introduit ici la notion de Point Vernal. Le Point Vernal est situé à l'intersection de l'Équateur Céleste, et de l'Écliptique.
L'Équateur Céleste est la projection de l'équateur de la Terre sur la sphère céleste.
L'Écliptique est le plan dans lequel la Terre se déplace au long de l'année.
Ce Point Vernal (noté aussi γ, symbole de la constellation du Bélier, dans laquelle se trouve le Point Vernal) a - au même titre que les étoiles - des coordonnées fixes dans le ciel.

Un cas particulier

Hauteur méridienne

• Pour exposer le principe de la façon la plus claire possible, on va d'abord considérer le cas où l'observateur (noté Obs sur les figures suivantes) se trouve sur le même méridien que le point Pg.
• Pour l'observateur, ceci se produit lorsque l'astre arrive à son point le plus haut dans le ciel
  • On appelle ceci la culmination de l'astre
  • Pour certains astres (étoiles, planètes, ...), on peut aussi utiliser le fait qu'ils passent à leur point le plus bas dans le ciel, qu'on appelle alors l'anti-culmination.
• Pour un observateur immobile, ceci arrive une fois par jour et par astre.
  • Note : Quand le Soleil passe au méridien, on dit qu'il est midi.
    Les méridionaux habitent dans le midi...
  • En Australie (qui est dans l'hémisphère sud), quand il est midi, le soleil est au nord...

• Pour simplifier les diagrammes, on va faire figurer le méridien sur lequel se trouvent l'astre et l'observateur dans le plan de la feuille.

• On a besoin d'introduitre ici la notion de Distance Zénithale.
  • La Distance Zénithale, notée Dz ou ζ, est le complément de la hauteur, soit (90° - hauteur)
  • On voit les rapports respectifs entre hauteur et distance zénithale sur les diagrammes suivants
  • Dans le diagramme qui suit, on a représenté 2 fois le Soleil, uniquement afin que ses rayons soient parallèles
  • On constate que dans ce cas, la Distance Zénithale est égale à la somme de la Latitude et de la Déclinaison
  • Connaissant la Distance Zénithale et la Déclinaison, la détermination de la Latitude est immédiate.

• Sur la figure suivante, on constate que dans ce cas, la Distance Zénithale est égale à la différence entre la Latitude et la Déclinaison.
• Il est donc important de considérer les signes respectifs de la Latitude de l'observateur et de la Déclinaison de l'astre.

• Ainsi, dans ce cas particulier ou l'observateur et l'astre se trouvent sur le même méridien, il est facile de calculer la hauteur de l'astre pour un instant donnée, à la position estimée de l'observateur.
• Pour résumer :
  • Si L & D sont de même signe
    • He = 90° - (L-D) = 90° - L + D
  • Si L & D sont signes différents
    • He = 90° - (L+D) = 90° - L - D
• De la même facon, lorsqu'on a fait une observation (obtenu la hauteur observée) à une heure donnée, à laquelle on connait - grâce aux éphémérides - la valeur de la Déclinaison de l'astre, on est capable d'en déduire sa latitude.
• Note : Pour obtenir sa longitude, il faut évaluer l'heure de la culmination (à la seconde près) et la comparer à l'heure de la culmination à Greenwich. C'est un peu plus complexe, et n'entre pas dans le cadre de ce document. Il s'agit de convertir ensuite la différence des heures de culmination en degrés, et on obtient ainsi sa longitude.
  Plus de détails ici.

Deuxième définition

Grand Cercle

• Un Grand Cercle est un cercle qui coupe la Terre en deux moitiés égales.
  • Tous les méridiens sont des Grands Cercles
  • L'Équateur est le seul parallèle qui soit un Grand Cercle
  • Par deux points donnés de la Terre, il ne passe qu'un Grand Cercle.
    • Sauf évidemment si ils sont chacun à l'extrémité d'un diamètre...
  • Le trajet le plus court d'un point à un autre est un arc de Grand Cercle (qu'on appelle orthodromie)

• Dans le cas - fréquent - où l'observateur et le point Pg ne sont pas sur le même méridien, on considère le grand cercle - unique donc - qui passe par la position estimée de l'observateur et le point Pg.

• Toute l'astuce de calcul, destinée à trouver la hauteur estimée de l'astre, consiste à faire "pivoter" ce grand cercle de manière à l'amener dans le plan de la feuille.
• Ainsi, on se trouve dans le cas de figure déjà décrit pour la hauteur méridienne.
• De trigonométrie dans le plan, on passe donc en trigonométrie sphérique. Les calculs sont plus complexes, mais le principe reste simple.
• Ce calcul de "pivotement" fait intervenir deux grandeurs essentielles :
  • La somme L±D
  • La différence de longitude entre l'observateur et Pg, appelée "Angle Horaire Local", noté AHL
• Ces deux grandeurs sont en fait
  • La différence de latitude entre Pg et Obs
  • La différence de longitude entre Pg et Obs

• Une fois ce pivotement effectué, on a tous les éléments pour déterminer la hauteur estimée de l'astre observé.
• Ces calculs sont détaillés dans un autre document, pas ici.

Troisième définition

Azimuth

• L'azimuth - noté Z - n'est rien d'autre que la direction dans laquelle on voit l'astre observé.
• C'est également le relèvement du point Pg, autrement dit la direction à prendre pour l'atteindre.
• L'azimuth est compté de 0° à 360° (tout comme un relèvement).
• Remarque : dans le cas de la hauteur méridienne, l'azimuth est 0° ou 180°

Ce qu'on cherche

• Toutes les figures et tous les calculs décrits précédemment n'ont que deux buts :
  • Calculer, pour la position estimée de l'observateur, à l'heure exacte de l'observation
    • La hauteur estimée de l'astre observé
    • Son azimuth
• Ces données s'obtiennent en résolvant les formules suivantes :
  $$ He = \arcsin \left( \sin(L) \times \sin(D) + \cos(L) \times \cos(D) \times \cos(AHL)) \right) $$ $$ Z = \arctan \left( \dfrac{ \sin(AHL)} { (\cos(L) \times \tan(D)) - (\sin(L) \times \cos(AHL)) } \right) $$
• On ne rit pas

Correction de l'estime, et détermination de la position

• On a donc déterminé par le calcul la hauteur estimée d'un astre, à savoir la hauteur qu'on observerait si on était effectivement à la position estimée de l'observateur.
• Tous les points d'un cercle, centré sur le point Pg, voient l'astre à la même hauteur.

• On passe le diagramme précédent sur la carte, et on obtient le suivant :

• En pratique, on est rarement assez près du point Pg pour qu'un tel cercle d'égales hauteurs tienne sur la carte.
• De fait, ce cercle est souvent tellement grand que sur une longueur de 20 ou 30 milles sur sa circonférence, il est assimilable à une droite, qu'on appelle droite d'égales hauteurs (que tout le monde abrège en droite de hauteurs).
• On a donc jusqu'à présent :
  • La hauteur estimée de l'astre
  • L'azimuth de l'astre
  • La position estimée de l'observateur

Quatrième définition

Intercept

• L'intercept est la différence entre la hauteur estimée (calculée) et la hauteur observée (avec le sextant).
• Il peut être positif ou négatif
• Il est exprimé en minutes d'arc
  • On rappelle la définition du mille marin :
    • Une minute d'arc au centre de la Terre projetée à sa surface.
  • Il y a donc une corellation directe entre la valeur de l'intercept en minutes d'arc et la valeur de la correction à apporter à l'estime en milles.

• On porte sur la carte la position estimée de l'observateur
• On trace l'azimuth, passant par cette position
• Si la hauteur observée est plus grande que la hauteur estimée, ça signifie qu'on est en réalité plus près de l'astre que ne le prétend l'estime, et ce d'autant de milles qu'il y a de minutes dans l'intercept.
• Si la hauteur observée est plus petite que la hauteur estimée, ça signifie qu'on est en réalité plus loin de l'astre que ne le prétend l'estime, et ce d'autant de milles qu'il y a de minutes dans l'intercept.
• On porte donc sur la carte l'intercept, le long de l'azimuth, dans le sens approprié.
• Perpendiculairement à l'azimuth, à partir du point ainsi trouvé, on trace la droite de hauteurs.

• Tout ce qu'on sait à présent, c'est qu'on est quelque part sur cette droite.
• Afin d'affiner cette information, on fait une deuxième droite quelques heures plus tard (ou avec un autre astre, s'il y en a de disponibles), afin que la nouvelle droite n'ait pas le même azimuth que la première.

• On translate ensuite la première droite de la distance parcourue dans l'intervalle de temps qui sépare les deux observations, dans la direction qu'on a suivie.
• On obtient ainsi une intersection entre les deux droites, qui se trouve être la position corrigée, puisqu'elle synthétise à la fois les informations données par la première et la deuxième droite.

Conclusion

• La démarche décrite dans ce document est simple, mais les calculs pour la mettre en œuvre n'ont rien de trivial.
• Néanmoins, une bonne compréhension du principe est nécessaire, ne serait-ce qu'afin de détecter les erreurs de calcul, qui ne manqueront pas d'arriver.